Как доступно объяснить ребёнку суть деления чисел

Смысл деления натуральных чисел с остатком

Отталкиваясь от общего представления о делении с остатком, несложно выяснить смысл деления с остатком натуральных чисел.

Сразу скажем, что в результате деления натурального числа a на натуральное число b с остатком получаются два числа, обозначим их c и d. Теперь разберемся со смыслом, который несут в себе числа a, b, c и d, откуда будет понятен и смысл деления с остатком.

Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством. Пусть натуральное число a, которое мы делим, определяет количество предметов в исходном множестве, а натуральное число d определяет количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления с остатком. Осталось определиться с числами b и c. Здесь возможны два варианта.

• Если натуральное число b соответствует количеству предметов в каждом из множеств, полученных после деления, то число c показывает количество полученных множеств.
• Если же натуральное число b задает количество множеств, на которые делится исходное множество, то число c определяет количество предметов в каждом из этих множеств.

Приведем пример, поясняющих смысл деления натуральных чисел с остатком. При делении натурального числа 13 на натуральное число 4 получили числа 3 и 1. Этому примеру можно сопоставить две равноправные ситуации.

• 13 предметов нужно разложить в кучки по 4 предмета в каждой. При этом получится 3 таких кучки, и в исходном множестве останется один предмет.
• 13 предметов нужно разложить в 4 кучки. При этом в каждой кучке окажется по 3 предмета, а в исходном множестве останется 1 предмет.

Следует отметить, что натуральное число a можно разделить с остатком на любое натуральное число b. При этом в зависимости значений чисел a и b могут возникнуть следующие три ситуации.

1. Числа a и b могут быть такими, что a делится на b без остатка. Иными словами, все предметы исходного множества могут быть разделены в требуемые множества. После этого действия в исходном множестве не останется ни одного предмета, то есть, число d будет равно нулю. (Таким образом, деление без остатка является частным случаем деления с остатком).
2. Число a может быть меньше, чем число b. В этом случае из предметов в исходном множестве не получится составить ни одного требуемого множества, то есть, число c будет равно нулю, остаток при этом будет равен числу предметов в исходном множестве, то есть, d=a.
3. Число a может делиться на число b с остатком. В этом случае все числа a, b, c и d будут натуральными числами.

Таким образом, результатом деления натуральных чисел a и b с остатком являются два числа c и d, причем числа c и d либо натуральные, либо одно из них равно нулю.

Как научить ребенка делению в форме игры

Чтобы математика приносила ребенку удовольствие и изучалась без проблем, требуется с самого детства прививать книги любовь, а не ненависть. Поэтому обучать ей стоит в форме игры и на понятных малышу примерах.

Это могут быть способы:

• игра в магазин,
• деление конфет,
• загадки и головоломки,
• компьютерные игры,
• стишки на запоминание математических правил.

Дети охотно играют в магазин и способны освоить математические операции легко, когда стоят за воображаемым прилавком или по другую его сторону. Сейчас появились появилось много компьютерных игр, где где, чтобы попасть на следующий уровень, малышу приходится выполнять подсчёт правильно. Так как игра вовлекает, он быстро сможет научиться.

Тоже самое можно проделывать с игрушками или со временем. Если мама говорит, что что её час разделен на три части, и одну часть она может посвятить игре с ребёнком, то вместе они могут посчитать, что правильно: 60 разделить на 3. Стало 20 минут.

Признаки делимости

Для выполнения деления с остатком в столбик нужно знать о признаках делимости. Это правила, помогающие производить операцию без ошибок. К ним относятся (порядковый номер соответствует делителю):

1. Можно делить любое действительное число. Результат операции — первоначальное значение.
2. Четный разряд единиц.
3. Сумму разрядов можно поделить на тройку.
4. Две цифры, являющиеся последними, можно разделить на четверку.
5. Последний разряд заканчивается на 0 или 5.
6. Одновременное деление по второму и третьему пунктам.
7. Произведение всех разрядов, кроме первого, без удвоенной последней цифры делится на семерку, то есть для числа 123 формула записывается в таком виде: (1*2−2*3)/7=-8/7 (не делится).
8. Для последней группы, состоящей из трех разрядов, выполняются условия пунктов 2 и 4.
9. Деление суммы всех разрядов на 9.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел

Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54.

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271, а остаток равен 37.

Ответ:

14 671:54=271 (ост. 37).

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a, если известны делитель b, неполное частное c и остаток d. Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a, когда известен делитель b=−21, неполное частное c=5 и остаток d=12. Обратившись к равенству a=b·c+d, получаем a=(−21)·5+12. Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по , после чего выполняем : (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ:

−93.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3, если известно, что неполное частное равно −7.

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c. Из условия имеем все необходимые данные a=−19, b=3, c=−7. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по ).

Ответ:

2.

Деление с остатком.

Рассмотрим простой пример:
15:5=3
В этом примере натуральное число 15 мы поделили нацело на 3, без остатка.

Иногда натуральное число полностью поделить нельзя нацело. Например, рассмотрим задачу:
В шкафу лежало 16 игрушек. В группе было пятеро детей. Каждый ребенок взял одинаковое количество игрушек. Сколько игрушек у каждого ребенка?

Решение:
Поделим число 16 на 5 столбиком получим:

Мы знаем, что 16 на 5 не делиться. Ближайшее меньшее число, которое делиться на 5 это 15 и 1 в остатке. Число 15 мы можем расписать как 5⋅3. В итоге (16 – делимое, 5 – делитель, 3 – неполное частное, 1 — остаток). Получили формулу деления с остатком, по которой можно сделать проверку решения.

16=5⋅3+1

a=b⋅c+da – делимое,b – делитель,c – неполное частное,d – остаток.

Ответ: каждый ребенок возьмет по 3 игрушки и одна игрушка останется.

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль, либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше.

Для вычисления неполного частного от деления a{\displaystyle a} на положительное число b{\displaystyle b} следует разделить (в обычном смысле) a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

q=⌊ab⌋,{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,} когда b>{\displaystyle b>0}.

где полускобки ⌊⋅⌋{\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q{\displaystyle q} позволяет вычислить значение остатка r{\displaystyle r} по формуле:

r=a−b⋅q.{\displaystyle r=a-b\cdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

q=⌈ab⌉,{\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,} когда b<{\displaystyle b<0}.

Правила целочисленного частного

В учебнике советского математика Виленкина Наума Яковлевича, одобренном Федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС), можно найти правила делимости нацело одного значения на другое. К ним относятся следующие:

На единицу и эквивалентное значение делится любая величина.
Только четные значения, последний разряд которых заканчивается на цифры 2, 4, 6, 8, 0, могут делиться на двойку.
Если сумма всех элементов разрядной сетки делится на тройку, то значит частное при делении на это значение будет целым.
На четверку можно разделить величину, у которой сумма разрядов единиц и десятков делится на четыре.
Условие деления на 5 — разряд единиц эквивалентен 0 или 5.
Чтобы разделить искомое значение на шесть, необходимо соблюдение сразу двух условий (второго и третьего).
Для деления величины, количество разрядов которой превышает 7, на семерку необходимо руководствоваться таким методом: разбить на группы-триады (по три), а затем просуммировать. Сумма должна делиться на 7. Если количество цифр не превышает 7, то нужно отсеять последний единичный элемент, и отнять от искомого числа удвоенный последний компонент. Результат должен делиться на 7.
Условием деления величины на восьмерку является одновременное выполнение второго и четвертого правил.
Чтобы разделить значение на 9, необходимо сложить все компоненты разрядной сетки. Результирующая величина при этом должна быть целочисленным значением.
Когда последний разряд равен нулю, тогда число делится на 10.

Однако седьмое правило может показаться не совсем понятным для начинающих математиков. В этом случае необходимо разобрать более подробно его реализацию на примере числа 754231897. Решение выполняется таким образом:

Разбить на триады начиная от единиц: 754 | 231 | 897.
Сложить элементы в группах: 18+6+24=48.
Результат, полученный на втором шаге, не делится на 7 по таблице умножения (49/7=7 и 56/7=8).

Многозначные числа

Сложнее всего детям даются задачи на трехзначные и четырехзначные числа. Четверокласснику тяжело оперировать тысячами и сотнями тысяч. У школьника возникают следующие проблемы:

1. Не может определить неполное число делимого для первого действия. Вернитесь к изучению разрядов натуральных чисел, поработайте над развитием внимания малыша.
2. Пропускает 0 в записи частного. Это самая распространенная проблема. В результате у ребенка получается число на несколько разрядов меньше правильного. Чтобы избежать этой ошибки, нужно распечатывать памятку с последовательностью действий в примерах, где в середине частного есть нули. Предложите ребенку тренажер с такими заданиями для отработки навыка.

При обучении решению задач с крупными (многозначными) числами действуйте поэтапно:

1. Объясните, что такое неполное делимое и зачем его выделять.
2. Потренируйтесь в поиске делимого устно без последующего решения задач. Например, дайте детям такие задания:

Найдите неполное частное в примерах: 369:28; 897:12; 698:36.

1. Теперь приступайте к решению на бумаге. Запишите столбиком: 1068:89.
2. Сначала нужно отделить неполное делимое. Можно использовать запятую сверху над числами.

106’8:89

1. Подбирайте частное на отдельном листочке или посчитайте в уме.
2. Распишите результат.
3. Внимательно отнимайте цифры от делимого. Следите за тем, чтобы результат после вычитания был меньше делителя.
4. Продолжайте деление до конца, пока не получится 0.
5. Придумайте еще несколько похожих примеров без остатка. Степень сложности увеличивайте постепенно.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a, делитель b, неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d. Для целых чисел a, b, c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r.

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q, что a=b·q. В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0.

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a, а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a. То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q<a<b·(q+1). После вычитания из всех частей этого неравенства произведения b·q приходим к неравенствам вида 0<a−b·q<b. Так как значение выражения a−b·q положительно и не превышает b (b – положительное число), то это значение можно принять в качестве r, то есть, r=a−b·q. Откуда получаем нужное представление числа a вида a=b·q+r.

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b.

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q₁ – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q₁, получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b.

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r, q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q₁+r₁, где q₁ и r₁ – некоторые целые числа, причем q₁≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q₁)+r−r₁, которое равносильно равенству r−r₁=b·(q₁−q). Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа — и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q₁ – целые и q≠q₁, то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a, кроме a=b·q+r.

Методика деления с остатком

Результатом операции нахождения частного двух чисел может быть целочисленной или дробное значение. В основном реализация их алгоритмов совпадает. Следовательно, необходимо рассмотреть один из них. Рекомендуется подробно разобрать пример на деление без остатка для 5 класса. Методика имеет следующий вид:

Написать число и делитель: 542/2.
Взять старший разряд: 5.
Разделить его на делитель, выделив целую часть и остаток (записывается в скобках): 5/2=2 (+1). В результирующую графу записать 2.
Перемножить частное (2) и делитель (2), записав под старшей группой результат их произведения: 2*2=4.
От 5 отнять 4: 5−4=1.
Снести разряд десятков, поставив его рядом с 1: 14.
Разделить величину в шестом пункте на делитель: 14/2=7 (записать к частному).
Вынести последний элемент разрядной сетки, поделив его на 2: 2/2=1 (записать в графу результата).
Ответ: 271.
Выполнить проверку при помощи калькулятора: 271*2=542.

Нахождение частного осуществляется таким образом:

Выполнить все действия до седьмого пункта включительно.
Снести элемент единиц: 1. Он не делится на двойку. В этом случае нужно в графе результата записать 0. Получится величина «270».
Дописать остаток: 270 (+1).
Проверка: 2*270 (+1)=540+1=541. Числа совпадают.

Кроме того, эту методику также рекомендуется записать на отдельном листе бумаги. Она должна быть перед глазами, поскольку необходимо сформировать правильные действия учащегося при решении задач этого типа. Со временем ее можно будет убрать.

Решение примеров

Для того чтобы произвести деление с остатком, используется определенная запись.

Приведем примеры по математике (3 класс). Деление с остатком в столбик можно не записывать. Достаточно записи в строчку: 13:4=3 (остаток 1) или 17:5=3 (остаток 2).

Разберем все подробнее. Например, при делении 17 на три получается целое число пять, кроме того, получается остаток два. Каков порядок решения такого примера на деление с остатком? Сначала необходимо отыскать максимальное число до 17, разделить которое можно без остатка на три. Самым большим будет 15.

Далее проводится деление 15 на число три, результатом действия будет цифра пять. Теперь вычитаем из делимого число, найденное нами, то есть из 17 отнимаем 15, получаем два. Обязательным действием является сверка делителя и остатка. После проверки обязательно записывается ответ совершенного действия. 17:3=15 (остаток 2).

Если остаток будет больше делителя, действие выполнено неправильно. Именно по такому алгоритму выполняет 3 класс деление с остатком. Примеры сначала разбирает учитель на доске, затем ребятам предлагается проверка знаний путем проведения самостоятельной работы.

Пример с умножением

Одна из самых трудных тем, с которой сталкивается 3 класс, — деление с остатком. Примеры могут быть сложными, особенно когда требуются дополнительные расчеты, записываемые в столбик.

Допустим, необходимо разделить число 190 на 27 с получением минимального остатка. Попробуем решить задачу, пользуясь умножением.

Подберем число, которое при умножении будет давать цифру, максимально приближенную к числу 190. Если умножить 27 на 6, получим цифру 162. Вычтем из 190 число 162, остаток будет 28. Он получился больше, чем исходный делитель. Следовательно, число шесть не подходит для нашего примера в качестве множителя. Продолжим решение примера, взяв для умножения число 7.

Умножая 27 на 7, мы получим произведение 189. Далее проведем проверку правильности решения, для этого вычтем из 190 полученный результат, то есть отнимем число 189. Остатком будет 1, что явно меньше 27. Именно так решаются сложные выражения в школе (3 класс, деление с остатком). Примеры всегда предусматривают запись ответа. Все математическое выражение можно оформить так: 190:27=7 (остаток 1). Подобные вычисления можно производить и в столбик.

Именно так осуществляет 3 класс деление с остатком. Примеры, приведенные выше, помогут разобраться в алгоритме решения подобных задач.

Теоретический материал

Алгебра

Глава 2. Целые числа

2.4. Деление с остатком

Ученик

Ха! Но ведь не всегда можно разделить нацело! И что тогда?

Учитель

Деление на множестве всех целых чисел выполнимо не всегда. Например, результаты деления или — числа нецелые. Поэтому возникает необходимость наряду с действием деления ввести и другое, обобщающее его действие, которое всегда выполнимо на , а в случае выполнимости — действие деления совпало бы с ним.

Ученик

Это же просто очевидно!

Учитель

Таким действием является деление с остатком.

Определение

Разделить целое число на целое число с остатком — это значит найти такие два целых и , которые удовлетворяют следующим условиям:1) ;2) .

Учитель

Число называют полным или неполным частным в зависимости от того, равно ли нулю или нет; называют остатком от деления на .

Ученик

А всегда ли можно разделить на с остатком? А будут ли числа и определены однозначно?

Учитель

О! Это уже серьёзные вопросы! Вообще говоря, ответ на них положительный! Но этот ответ даёт одна из важнейших теорем арифметики целых чисел, которую называют теоремой о делении с остатком.

Теорема

Каковы бы ни были целое число и целое число , всегда возможно, и притом единственным способом, разделить на с остатком.

Доказательство.

Докажем вначале возможность деления с остатком. Пусть — любое целое число. Тогда, в зависимости от знака , рассмотрим два случая. 1) — положительное число. Рассмотрим множество всех целых чисел, которые делятся на , расположив их в порядке возрастания: . В такой последовательности чисел всегда найдется наибольшее, которое делится на и не превосходит . Пусть для определенности такое число . Тогда, . Учитывая тот факт, что неравенство не нарушается, если к каждой из его частей прибавить (вычесть) одно и то же число, получим, если вычтем . Приравняв , имеем , где — целые числа. Следовательно, деление выполнимо.2) — отрицательное число. Так как , то и деление на выполнимо. Это означает, что существуют такие целые числа и , что и . Но тогда и . Обозначим, получаем , и выполнимость деления с остатком доказана.

Докажем единственность деления с остатком.

Предположим, что на делится неединственным образом. Тогда существует две пары целых чисел и , такие что и . Значит, и поэтому (*). Так как и , то . Поскольку и — целые числа, то равенство (*) возможно только в случае, когда , т.е. . Но , и, следовательно, или . Итак, , и единственность деления с остатком доказана.

Ученик

В общем-то это всё понятно, но пара примеров не помешала бы!

Учитель

Разумеется. Но здесь далеко не всё так просто, и требует большой внимательности. Сейчас ты это увидишь! Итак примеры. Разделим с остатком!!!

а) на ;

В данном случае . Значит, , и поэтому неполное частное , остаток .

б) на ;

Выполняя деление обычным способом, убеждаемся, что и , .

в) на ;

Для выполнения деления с остатком воспользуемся примером б). Поменяв в равенстве из б) знаки, получим: . Но, учитывая, что , прибавим и вычтем модуль делителя правой части равенства: , неполное частное , остаток .

г) на ;

В равенстве из б) поменяем одновременно знаки и делимого, и делителя: и получим неполное частное , а остаток .

д) на

Решаем аналогично, как в), с той лишь разницей, что знак минус соотнесем к частному, а не к делителю:.

Неполное частное , остаток .

Учитель

Ну что, видно, что не всё так просто, как кажется с первого взгляда?

Ученик

Да, действительно надо быть очень внимательным.

Учитель

Самостоятельно найди:1) остаток от деления 268737 на 11 ;2) неполное частное от деления 8946523 на 4.

Примечания

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
2. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. ; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
3. ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
4. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
5. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
6. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

Как выучить деление и умножение с ребенком

Самый элементарный метод, с помощью которого можно научиться умножать и делить, представлен наглядной демонстрацией разделения предметов на равные части или же увеличения этих долей. В роли предметов, которые используются в качестве обучающего реквизита, должны выступать предметы, вызывающие в уме школьника интерес.

Умножение и деление однозначных чисел

Для деления однозначных чисел на однозначные лучше всего использовать таблицу умножения, но перед этим следует объяснить своему чаду, что деление – это действие, противоположное умножению. Сделать это можно с помощью любого правильного деления натуральных чисел, к примеру, 2 умножить на 4 будет 8. Придерживаясь данного примера, показать карапузу делительный процесс:

• разделить 8 на любой множитель, например, на число 2;
• в ответе получится 4, то есть множитель, который не был использован при делении.

Таким методом также делятся многозначные (двухзначные) числа на однозначные. А для того, чтобы освоить процесс умножения однозначных чисел, вместе с малышом достаточно лишь постепенно учить таблицу умножения.

Алгоритм деления однозначных чисел

Умножение и деление двузначных чисел

В целях разъяснения дошкольнику процесса умножения двухзначных цифр опытные педагоги рекомендуют прибегать к итальянскому методу или методу «решетки». Для начала следует на листе бумаги начертить мини-таблицу два на два: одно число записать по длине, а другое – по ширине таблицы. Каждую клетку нужно разделить по диагонали ровной линией, после чего в образовавшиеся треугольники вписать результат умножения чисел (отдельно десятки, отдельно единицы).

Далее вместе с ребенком сложить «произведения» строго по диагонали, результат подписать. Произведение будет равно значению, которое образуется в процессе чтения цифр снизу вверх и направо.

Некоторые родители предпочитают использовать китайско-японский способ умножения в процессе обучения своих детей. Он может показаться более сложным, чем метод «решетки», но на деле все не так страшно. Следует всего лишь нарисовать цифры линиями, посчитать «узлы», которые образовались при пересечении, и «собрать» из них произведение. В процессе подсчета учитываются следующие моменты:

• количество узлов, которые получились при пересечении линий, обозначающих десятки перемножаемых чисел = количество сотне произведения;
• узлы, получившиеся при пересечении прямых, обозначающих единицы и десятки умножаемых цифр = количество десятков произведения.

Обратите внимание! Что касается количества узлов, образовавшихся путем пересечения линий, которые обозначают единицы умножаемых чисел, то оно равняется количеству единиц произведения. Если ребенок еще не проходил метод деления двухзначных цифр «столбиком», то нужно объяснить ему на более простом языке

Для примера можно взять 66/3. Число 64 раскладываем на цифры, которые устно можно поделить на 3:

Если ребенок еще не проходил метод деления двухзначных цифр «столбиком», то нужно объяснить ему на более простом языке. Для примера можно взять 66/3. Число 64 раскладываем на цифры, которые устно можно поделить на 3:

64 = 30 + 30 + 6.

Малышу сразу все станет понятно: 30 и 6 мы сможем поделить на 3, после чего нужно будет только сложить результаты, т. е. 66 / 3 = 10 (получили в процессе деления 30 на 3) + 10 (30 поделили на 3) + 2 (6 поделили на 3).

66 / 3 = 22. Здесь не был использован метод разделения в столбик, но карапуз сразу поймет ход рассуждений и выполнит простые вычисления без труда.

Деление с остатком

Завершающим этапом уроков на закрепление навыка деления будет решение заданий с остатком. Они обязательно встретятся в решебнике для 3–4-го класса. В гимназиях с математическим уклоном школьники изучают не только неполные числа, но и десятичные дроби. Форма записи примера уголком останется прежней, отличаться будет только ответ.

Примеры на деление с остатком берите несложные, можно преобразовывать уже решенные задания с целым числом в ответе, прибавляя к делимому единицу. Это очень удобно для ребенка, он сразу увидит, чем примеры похожи и чем отличаются.

Урок может выглядеть так:

1. Расскажите ученику третьего класса, что не все цифры можно поделить поровну и что есть такие, которые делятся с остатком. Для иллюстрации понятия возьмите натуральное число до 10. Например, попробуйте вместе разделить 9 на 2. Форма записи решения столбиком получится такой:
2. Объясните школьнику, что остатком считается последнее число для деления, которое меньше делителя. Конец записи будет таким: 9:2=4 (1 — остаток).